题目内容

在平面直角坐标系xOy中,直线x轴交于点A,与y轴交于点B

(1)求∠BAO的度数;
(2)如图1,P为线段AB上一点,在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD.点QAD上,连结PQ,过作射线PFPQx轴于点F,作PGx轴于点G
求证:PFPQ
(3)如图2,E为线段AB上一点,在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED.若P为线段EB的中点,连接PDPO,猜想线段PDPO有怎样的关系?并说明理由.
(1)(2)证明:在等腰直角三角形APD中,,DA=DP,,∴DP⊥AD于D,由(1)可得,∴,又∵PG⊥x轴于G,∴PG = PD,∴,∴,∴,即,又∵PQ⊥PF,∴,∴,在△PGF和△PDQ中,,∴△PGF≌△PDQ,∴PF=PQ(3)
OP⊥DP,OP=DP 证明:延长DP至H,使得PH=PD,∵P为BE的中点,∴PB=PE,在△PBH和△PED中,,∴△PBH≌△PED,∴BH=ED,∴,∴BH∥ED,在等腰直角三角形ADE中,AD=ED,,∴AD=BH,,∴DE∥x轴,BH∥x轴, BH⊥y轴,∴,由(1)可得 OA=OB,在△DAO和△HBO中,,∴△DAO≌△HBO,∴OD=OH,∠5=∠6,∵,∴在等腰直角三角形△DOH中,∵DP=HP,∴OP⊥DP,,∴,∴OP=PD

试题分析:(1)
直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(-6,0),B(0,6),∴OA=OB,∴,在△AOB中,,∴
(2)由,DA=DP,推出DP⊥AD,再利用(1)中的结论,结合图像,以及全等三角形的判定,可以推出,∴PF=PQ。
(3)由于PB=PE,以及全等三角形的判定定理推出△PBH≌△PED,由此可以推出BH∥ED,又因为在等腰直角三角形ADE中,AD=BH,,所以利用全等三角形的判定定理,推出△DAO≌△HBO,同时利用等腰直角三角形的特殊性,可以推出OP=PD
点评:本题看似复杂,实则许多地方都用到了全等三角形的判断,全等三角形在中考中是重点,也是难点,学生应该加强这方面的练习,做到举一反三。
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