Question

如图，在正方形ABCD中，AB=12，∠ECF=45°，点F在AB上，EF、CB的延长线交于点G，
                     
若EF=10，请问：
（1）EF、BF、ED之间满足的数量关系为___________________;
（2）S_△AEF+S_△BGF=_____________________.

Answer 1

（1）EF=ED+BF；（2）48或30

试题分析：（1）把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH，根据正方形的性质结合∠ECF=45°可得△ECF≌△ECH，从而得到结果；
（2）设BF=DH=x，则ED=10-x，AF=12-x，则AE=12-（10-x）=2+x，在Rt△AEF中根据勾股定理列方程即可求得x的值，再证得△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质求得BG的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得结果.
（1）把△BCF绕点C顺时针旋转90°到△DCH，

则CF=CG，∠BCF=∠DCH，BF=DH
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°
∵∠ECF=45°
∴∠BCF+∠ECD=45°
∴∠DCH+∠ECD=45°，即∠ECH=45°
在△ECF与△ECH中
CF=CG，∠ECF=∠ECH，CE=CE
∴△ECF≌△ECH
∴EF=EH=ED+DH=ED+BF；
（2）设BF=DH=x，则ED=10-x，AF=12-x，则AE=12-（10-x）=2+x，
在Rt△AEF中
解得
∵正方形ABCD
∴AD∥BC
∴△AEF∽△BGF
∴
当BF=DH=4时，AE=6，AF=8，解得BG=3
当BF=DH=6时，AE=8，AF=6，解得BG=8
∴
或
点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转对应边的夹角是旋转角，旋转前后图形的对应边、对应角相等.