题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与x轴正半轴的交点,点B在抛物线上,其横坐标为2,直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点,点Q在抛物线上,且MQ平行于x轴,PQ平行于y轴设点P横坐标为m.
(1)求直线AB所对应的函数表达式.
(2)用含m的代数式表示线段PQ的长.
(3)以PQ、QM为邻边作矩形PQMN,求矩形PQMN的周长为9时m的值.
【答案】(1)直线AB的解析式为;(2)见解析;(3)m的值为或.
【解析】试题分析:(1)先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标,然后利用待定系数法求直线AB的解析式;
(2)设P(m,-m+8),则Q(m,-m2+4m),讨论:当0<m≤2时,PQ=m2-5m+8;当2<m<8时,PQ=-m2+5m-8;
(3)先表示出M(m2-4m+8,-m2+4m),讨论:当0<m≤2,QM=m2-5m+8,利用矩形周长列方程得到2(m2-5m+8+m2-5m+8)=9,然后解方程求出满足条件m的值;当2<m<8,QM=-m2+5m-8,利用矩形周长列方程得到2(-m2+5m-8-m2+5m-8)=9,然后解方程求出满足条件m的值.
试题解析:(1)当y=0时,-x2+4x=0,解得x1=0,x2=8,则A(8,0);
当x=2时,y=-x2+4x=6,则B(2,6),
设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b,
将A(8,0),B(2,6)代入可得,
解得,
所以直线AB的解析式为y=-x+8;
(2)设P(m,-m+8),则Q(m,-m2+4m),
当0<m≤2时,PQ=-m+8-(-m2+4m)=m2-5m+8;
当2<m<8时,PQ=-m2+4m-(-m+8)=-m2+5m-8;
(3)∵MQ∥x轴,
∴M点的纵坐标为-m2+4m,
∴M点的横坐标为m2-4m+8,即M(m2-4m+8,-m2+4m),
当0<m≤2,QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8,
∵2(PQ+QM)=9,
∴2(m2-5m+8+m2-5m+8)=9,
整理得2m2-20m+23=0,解得m1=,m2=(舍去);
当2<m<8,QM=m-(m2-4m+8)=-m2+5m-8,
∵2(PQ+QM)=9,
∴2(-m2+5m-8-m2+5m-8)=9,
整理得2m2-20m+41=0,解得m1=,m2=(舍去);
综上所述,m的值为或.