Question

如图，抛物线与x轴交于A(，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P是抛物线上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；
（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） （2）四边形ABCP的面积的最大值为，点P坐标为 （3）存在；M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，) M₅(，)

试题分析：⑴抛物线与x轴交于A(，0)、B(3，0)两点，则；解得，所以抛物线的解析式是
⑵过P点做PD垂直于X轴；四边形ABCP的面积=三角形OBC的面积+三角形APD的面积+梯形OCPD的面积；抛物线与y轴的交点是C，C的坐标（0,y）解得y=-4,则OC=4，而OC是三角形ABC的高；抛物线与x轴交于A(，0)、B(3，0)两点，OC=3，则；设P点的坐标为（x,y）; 点P是抛物线上第三象限内的一动点，PD="-y,OD=-x;" 则==
当x+2=0即x=-2时四边形ABCP的面积的最大值为=+6=
点P坐标为
⑶点M在抛物线对称轴上，抛物线的函数关系式，其对称轴X=；在直角三角形OBC中BC=5；点N是平面内一点，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质四边相等解得
M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，)
M₅(，)
点评：考查二次函数的知识，本题要求学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式，本题难度较大，但（1）小问比较简单，要求学生会做，后面两小问，难度较大，要求中等成绩以上的学生要会做