Question

某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

Answer 1

（1），0＜x≤10且x为正整数；（2）32元；（3）定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.

试题分析：（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y=2520时代入y=-10x²+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x²+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
（1）依题意得        
自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y=2520时，得（元）            
解得x₁=2，x₂=11（不合题意，舍去） 
当x=2时，30+x=32（元）
所以，每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；
（3）        
∵a=-10＜0 
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5          
∵0＜x≤10(1≤x≤10也正确)且x为正整数
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元） 
当x=7时，30+x=37，y=2720（元）
所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.
点评：二次函数的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度较大，需熟练掌握.