Question

【题目】已知二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与y轴交于点A（0，﹣2），与x轴交于点B（1，0）和点C，D（m，0）（m＞2）是x轴上一点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点E是第四象限内的一点，若以点D为直角顶点的Rt△CDE与以A，O，B为顶点的三角形相似，求点E坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意，得 ，

解得： ，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+3x﹣2；

（2）

当y=0时，有﹣x2+3x﹣2=0，

解得，x1=1，x2=2，

∴OC=2．

由题意得AO=2，BO=1，CD=m﹣2．

当△CDE∽△AOC时，

得 = ，

∴ = ，

∴DE= ．

∵点E在第四象限，

∴E1（m， ）．

当△DEC∽△AOC时，得 = ，

∴ = ．

∴DE=2m﹣4．

∵点E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

（3）

假设抛物线上存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形，则EF=BC=1，

点F的横坐标为m﹣1，

当点E1的坐标为：（m， ）时，点F1的坐标为：（m﹣1， ），

∵点F1在抛物线的图象上，

∴ =﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

解得：m1= ，m2=2（舍去），

∴F1（ ，﹣ ）．

当点E2的坐标为：（m，4﹣2m）时，点F2的坐标为：（m﹣1，4﹣2m），

∵点F2在抛物线的图象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，

∴解得：m1=2（舍去），m2=5，

∴F2（4，﹣6），

∴使得四边形BCEF为平行四边形的点F的坐标为：F1（ ，﹣ ），F2（4，﹣6）．

【解析】（1）直接将A，B点代入二次函数解析式进而得出答案；（2）分别利用当△CDE∽△AOC时以及当△DEC∽△AOC时，分别得出E点坐标即可；（3）利用平行四边形的性质表示出F点坐标进而得出答案．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．