Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=AC=4cm，于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为t(s)，

（1）求t为何值时，；
（2）当时，求证：AD平分△PQD的面积；
（3）当时，求△PQD面积的最大值.

Answer 1

（1）当t=（Q在AC上）时，；
（2）证明见解析；
（3）当t=1时，△PQD面积的最大值为．

试题分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（3）△PQD面积与t的函数关系式，再求最大值即可．
试题解析：（1）当Q在AB上时，显然不存在；
当Q在AC上时，BP=t，CQ=2x，PC=4-t
∵AB=BC=AC=4cm，
∴∠C=60°
若，则∠QPC=30°
∴PC=2QC，
∴4-t=2×2t，
∴t=，
当t=（Q在AC上）时，；
（2）过点Q作QE⊥BC于点E，

∵∠ODP=90°=∠QEP，∠OPD=∠QPD
∴△ODP∽△QEP
∴
∵当时，BP=t， PD="2-t" ，
又CQ=2t，CE=t，PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t
∴PD=PE，
∴OD=QE
∵，
∴，
∴AD平分△PQD的面积；
（3）当时，设△PQD面积为，
∵PD="2-t" ，QE=
∴==
∴当t=1时，△PQD面积的最大值为．