试题分析:(1)若使PQ⊥AC,则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长,再根据30度的直角三角形的性质列方程求解;
(2)根据三角形的面积公式,要证明AD平分△PQD的面积,只需证明O是PQ的中点.根据题意可以证明BP=CN,则PD=DN,再根据平行线等分线段定理即可证明;
(3)△PQD面积与t的函数关系式,再求最大值即可.
试题解析:(1)当Q在AB上时,显然不存在

;
当Q在AC上时,BP=t,CQ=2x,PC=4-t
∵AB=BC=AC=4cm,
∴∠C=60°
若

,则∠QPC=30°
∴PC=2QC,
∴4-t=2×2t,
∴t=

,
当t=

(Q在AC上)时,

;
(2)过点Q作QE⊥BC于点E,

∵∠ODP=90°=∠QEP,∠OPD=∠QPD
∴△ODP∽△QEP
∴

∵当

时,BP=t, PD="2-t" ,
又CQ=2t,CE=t,PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t
∴PD=

PE,
∴OD=

QE
∵

,

∴


,
∴AD平分△PQD的面积;
(3)当

时,设△PQD面积为

,
∵PD="2-t" ,QE=

∴

=

=

∴当t=1时,△PQD面积

的最大值为

.