Question

如图1，点A（a-

3

，b+1），B（a+

3

，b-1）都在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上．
（1）求a、b之间的关系式；
（2）把线段AB平移，使点A落到y轴正半轴上的C点处，点B落到x轴正半轴上的D点处，求点O到CD的距离；
（3）在（2）的条件下，如图2，当∠BAD=30°时，请求出k的值．

Answer 1

（1）∵点A（a-

3

，b+1），B（a+

3

，b-1）都在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上．
∴(a-

3

)(b+1)=(a+

3

)(b-1)=k
∴a=

3

b；

（2）设C（0，m），D（n，0），点O到CD得距离为h
∵线段AB平移，点A（a-

3

，b+1）落在y轴正半轴上的C点，点B（a+

3

，b-1）落在x轴正半轴上的D点，
∴

a- 3 -0=a+ 3 -n b+1-m=b-1-0

∴

m=2 n=2 3

在Rt△ODC中，OC²+OD²=DC²
∴DC=

22+(2 3 )2

=4
由三角形面积公式得：

OC•OD

2

=

CD•h

2

∴h=

2×2 3

4

=

3

∴点O到CD得距离为

3

；

（3）延长DA交y轴于点E，过C作CT⊥DE，垂足为T，（其实T与A重合）
∵线段AB平移得到CD，
∴AB∥CD
∴∠TDC=∠BAD=30°，又∠CTD=90°
∴CT=

1

2

DC=

1

2

OC2+OD2

=

1

2

×4=2，而OC=2
∴CT=OC，又CT⊥DE，CO⊥DO
∴∠ODC=∠TDC=30°
∴∠EDO=60°
∴∠CED=30°=∠EDC
∴EC=CD=4
∴OE=6
∴E（0，6）
由E，D的坐标得直线DE的解析式为：y=-

3

x+6，
点A（a-

3

，b+1）在直线DE上，且a=

3

b，
故A（

3

b-

3

，b+1），代入y=-

3

x+6得：b+1=-

3

(

3

b-

3

)+6
∴b=2
∴A（

3

，3）
∴k=3

3

．