题目内容
如图,直线y=
x-1与x轴,y轴分别相交于B、A,点M为双曲线y=
(x>0)上的一点,且△AMB是以AB为底的等腰直角三角形.
(1)求A、B两点坐标;
(2)过M点作MC⊥x轴,MD⊥y轴,垂足分别为C、D;求证:△AMD≌△BMC;
(3)求k值;
(4)问双曲线上是否存在一点Q,使
=
?若存在,求Q点坐标;若不存在,说明理由.
1 |
5 |
k |
x |
(1)求A、B两点坐标;
(2)过M点作MC⊥x轴,MD⊥y轴,垂足分别为C、D;求证:△AMD≌△BMC;
(3)求k值;
(4)问双曲线上是否存在一点Q,使
S△OBQ |
S△AOQ |
5 |
4 |
(1)∵直线y=
x-1与x轴,y轴分别相交于B、A,
∴当x=0时,y=-1;当y=0时,x=5,
∴A点坐标的坐标为(0,-1),B点坐标为(5,0);
(2)∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形,
∴AM=BM,∠MAB=∠MBA=45°,∠AMB=90°,
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°,
∴∠MAD+∠OBA=45°,
∵∠MBC+∠OBA=45°,
∴∠MAD=∠MBC,
∵MC⊥x轴,MD⊥y轴,
∴∠ADM=∠BCM=90°,
在△AMD和△BMC中,
,
∴△AMD≌△BMC(AAS);
(3)∵MC⊥x轴,MD⊥y轴,
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°,
∴四边形OCMD是矩形,
∵△AMD≌△BMC,
∴AD=BC,DM=CM,
∴四边形OCMD是正方形,
∴OC=OD,
∵OA=1,OB=5,
设OD=x,
则AD=x+1,BC=5-x,
∵AD=BC,
∴x+1=5-x,
解得:x=2,
即OD=OC=2,
∴点M的坐标为:(2,2),
∴k=xy=4;
(4)存在.
∵k=4,
∴反比例函数的解析式为:y=
,
设Q点的坐标为:(a,
),
∴S△OBQ=
•OB•
=
×5×
=
,S△AOQ=
•OA•a=
×1×a=
a,
∵
=
,
∴4S△OBQ=5S△AOQ,
即4×
=5×
a,
解得:a=±4,
∵a>0,
∴a=4,
∴Q点的坐标为(4,1).
1 |
5 |
∴当x=0时,y=-1;当y=0时,x=5,
∴A点坐标的坐标为(0,-1),B点坐标为(5,0);
(2)∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形,
∴AM=BM,∠MAB=∠MBA=45°,∠AMB=90°,
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°,
∴∠MAD+∠OBA=45°,
∵∠MBC+∠OBA=45°,
∴∠MAD=∠MBC,
∵MC⊥x轴,MD⊥y轴,
∴∠ADM=∠BCM=90°,
在△AMD和△BMC中,
|
∴△AMD≌△BMC(AAS);
(3)∵MC⊥x轴,MD⊥y轴,
∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°,
∴四边形OCMD是矩形,
∵△AMD≌△BMC,
∴AD=BC,DM=CM,
∴四边形OCMD是正方形,
∴OC=OD,
∵OA=1,OB=5,
设OD=x,
则AD=x+1,BC=5-x,
∵AD=BC,
∴x+1=5-x,
解得:x=2,
即OD=OC=2,
∴点M的坐标为:(2,2),
∴k=xy=4;
(4)存在.
∵k=4,
∴反比例函数的解析式为:y=
4 |
x |
设Q点的坐标为:(a,
4 |
a |
∴S△OBQ=
1 |
2 |
4 |
a |
1 |
2 |
4 |
a |
10 |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵
S△OBQ |
S△AOQ |
5 |
4 |
∴4S△OBQ=5S△AOQ,
即4×
10 |
a |
1 |
2 |
解得:a=±4,
∵a>0,
∴a=4,
∴Q点的坐标为(4,1).
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