Question

已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）若AB=4cm，∠ACB=30°，如图2，垂直于BC的直线l从线段CD所在的位置出发，沿直线AD的方向向左以每秒1cm的速度匀速运动（直线l到达A点时停止运动），运动过程中，直线l交折线AEC于点M，交折线AFC于点N；设运动时间为t秒，△CMN的面积为y平方厘米，求y与t的关系式．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到△AOE与△COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
（2）首先根据已知得出菱形的边长进而利用直线l的位置不同进行分类讨论：如图2，当0＜t≤

4 3

3

时，如图3，当

4 3

3

≤t≤

8 3

3

时，
如图4，当

8 3

3

≤t＜4

3

时，分别求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；

（2）解：∵AB=4cm，∠ACB=30°，四边形AFCE为菱形，
∴∠ACB=∠ACE=30°，
∴∠FCE=∠FAE=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=

4 3

3

cm，AF=FC=AE=EC=

8 3

3

cm，
∴BC=4

3

cm，
如图2，当0＜t≤

4 3

3

时，
∵∠NCM=60°，
∴∠NMC=30°，
NC=t，则MN=t×tan30°=

3

3

t，
∴y=

1

2

×MN×NC=

1

2

×

3

3

t×t=

3

6

t²；
如图3，当

4 3

3

≤t≤

8 3

3

时，
∵AB=MN=4cm，CN=t，
∴y=

1

2

×MN×NC=

1

2

×4×t=2t；
如图4，当

8 3

3

≤t＜4

3

时，
∵∠MAN=60°，MD=t，则AM=4

3

-t，
∴MN=（4

3

-t）tan60°=12-

3

t，
∴y=

1

2

×t×（12-

3

t）
=-

3

2

t²+6t．

点评：此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质和锐角三角函数关系以及三角形面积求法等知识，利用t的不同取值范围得出是解本题的关键．