Question

如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若BF=BD=

2

，求BE的长；
（2）若M、N分别为EF、DB的中点，求证：MN⊥DB．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=

2

，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM，DM的关系进而得出答案即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
即BC²=（

2

）²+（

2

）²，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=DC ∠A=∠DCF=90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=

2

-1，
∴BE=AB-AE=1-（

2

-1）=2-

2

；

（2）证明：如图：连接DM，BM，
∵DF⊥DE，M为EF中点，
∴DM=

1

2

EF，
∵∠EBF=90°，M为EF中点，
∴BM=

1

2

EF，
∴BM=DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及直角三角形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出BM=DM是解题关键．