题目内容

已知:在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,点P从点B出发,沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动,同时,点Q从点D出发,沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动(当点Q到达点A时,点P与点Q同时停止移动),PQ交BD于点E.假设点P移动的时间为x(秒),△BPE的面积为y(cm2).
(1)求证:在点P、Q的移动过程中,线段BE的长度保持不变;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果CE=CP,求x的值.
(1)证明:∵DQBP,
BE
DE
=
BP
DQ
.(1分)
∵BP=2x,DQ=x,
BE
DE
=2

BE=
2
3
BD
.(1分)
∵∠A=90°,AB=6,AD=9,
BD=3
13
.(1分)
BE=2
13

即在点P和点Q的移动过程中,线段BE的长度保持不变.(1分)

(2)作EH⊥BC,垂足为点H,得EHCD.
EH
DC
=
BE
BD
=
2
3
.(1分)
∴EH=4.(1分)
y=
1
2
•2x•4

即所求的函数解析式为y=4x.(1分)
定义域为0<x≤9.(1分)

(3)∵EHCD,
CH
BC
=
DE
BD
=
1
3

∴CH=3.(1分)
∴CE=5.(1分)
(i)当点P在线段BC上时,9-2x=5.解得x=2.(1分)
(ii)当点P在线段BC的延长线上时,2x-9=5.解得x=7.(1分)
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