题目内容

【题目】如图,ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.

(1)求证:四边形BCED′是菱形;

(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形,进而求出四边形BCED′是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到结论;

(2)由四边形DAD′E是平行四边形,得到DAD′E是菱形,推出D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG,DG,根据勾股定理即可得到结论.

试题解析:(1)∵将ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,∵DE∥AD′,∴∠DEA=∠EAD′,∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,∴∠DAD′=∠DED′,∴四边形DAD′E是平行四边形,∴DE=AD′,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC,∴CE=D′B,CE∥D′B,∴四边形BCED′是平行四边形;

∵AD=AD′,∴DAD′E是菱形,(2)∵四边形DAD′E是菱形,∴D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,∵CD∥AB,∴∠DAG=∠CDA=60°,∵AD=1,∴AG=,DG=,∴BG=,∴BD==,∴PD′+PB的最小值为

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