题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为每秒2cm和1cm,FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t秒(0<t<4).
(1)连接EF,若运动时间t= 时,EF⊥AC;
(2)连接EP,当△EPC的面积为3cm2时,求t的值;
(3)若△EQP∽△ADC,求t的值.
【答案】(1)秒;(2)2秒;(3)2秒.
【解析】
(1)先确定出AC=10,进而得出∠ACB的余弦值,利用三角函数得出CP,CG,即可得出PG,再判断出△PFG∽△EFQ,建立方程即可得出结论,
(2)利用三角形的面积建立方程即可得出结论;
(3)先判断出EQ=CQ,进而得出CE=2CQ,建立方程即可得出结论.
解:(1)如图1,
在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,根据勾股定理得,AC=10,
∵∠B=∠D=∠BCD=90°,FQ⊥BC于Q,
∴四边形CDFQ是矩形,
∴CQ=DF,
由运动知,BE=2t,DF=t,
∴CQ=t,CE=BC﹣BE=8﹣2t,AF=8﹣t,
∴EQ=CE﹣CQ=8﹣3t,
在Rt△ABC中,cos∠ACB=,
在Rt△CPQ中,cos∠ACB=,
∴CP=t,
∵EF⊥AC,
∴∠CGE=90°=∠ABC,
∴∠ACB+∠FEQ=90°,
∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠FEQ=∠BAC,
∴△ABC∽△EQF.
∴
∴,
∴EQ=,
∴8﹣3t=,
t=秒;
故答案是:秒;
(2)由(1)知,CE=8﹣2t,CQ=t,
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,
在Rt△CPQ中,tan∠ACB=,
∴PQ=t,
∵△EPC的面积为3cm2,
∴S△EPC=CE×PQ=×(8﹣2t)×t=3,
∴t=2秒,
即:t的值为2秒;
(3)四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵△EQP∽△ADC,
∴∠CAD=∠QEP,
∴∠ACB=∠QEP,
∴EQ=CQ,
∴CE=2CQ,
由(1)知,CQ=t,CE=8﹣2t,
∴8﹣2t=2t,
∴t=2秒.
即:t的值为2秒.