题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为每秒2cm1cm,FQ⊥BC,分别交AC、BC于点PQ,设运动时间为t秒(0<t<4).

(1)连接EF,若运动时间t=   时,EF⊥AC;

(2)连接EP,当△EPC的面积为3cm2时,求t的值;

(3)△EQP∽△ADC,求t的值.

【答案】(1)秒;(2)2秒;(3)2.

【解析】

(1)先确定出AC=10,进而得出∠ACB的余弦值,利用三角函数得出CP,CG,即可得出PG,再判断出△PFG∽△EFQ,建立方程即可得出结论,
(2)利用三角形的面积建立方程即可得出结论;
(3)先判断出EQ=CQ,进而得出CE=2CQ,建立方程即可得出结论.

解:(1)如图1,

在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,根据勾股定理得,AC=10,

∵∠B=D=BCD=90°,FQBCQ,

∴四边形CDFQ是矩形,

CQ=DF,

由运动知,BE=2t,DF=t,

CQ=t,CE=BC﹣BE=8﹣2t,AF=8﹣t,

EQ=CE﹣CQ=8﹣3t,

RtABC中,cosACB=

RtCPQ中,cosACB=,

CP=t,

EFAC,

∴∠CGE=90°=ABC,

∴∠ACB+FEQ=90°,

∵∠ACB+BAC=90°,

∴∠FEQ=BAC,

∴△ABC∽△EQF.

EQ=

8﹣3t=

t=秒;

故答案是:秒;

(2)由(1)知,CE=8﹣2t,CQ=t,

RtABC中,tanACB=

RtCPQ中,tanACB=

PQ=t,

∵△EPC的面积为3cm2

SEPC=CE×PQ=×(8﹣2t)×t=3,

t=2秒,

即:t的值为2秒;

(3)四边形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠CAD=ACB,

∵△EQP∽△ADC,

∴∠CAD=QEP,

∴∠ACB=QEP,

EQ=CQ,

CE=2CQ,

由(1)知,CQ=t,CE=8﹣2t,

8﹣2t=2t,

t=2秒.

即:t的值为2秒.

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