题目内容

【题目】如图,∠MAN=60°AP平分∠MAN,点B是射线AP上一定点,点C在直线AN上运动,连接BC,将∠ABC<∠ABC120°)的两边射线BCBA分别绕点B顺时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E

1)如图1,当点C在射线AN上时,

①请判断线段BCBD的数量关系,直接写出结论;

②请探究线段ACADBE之间的数量关系,写出结论并证明;

2)如图2,当点C在射线AN的反向延长线上时,BC交射线AM于点F,若AB=4AC=,请直接写出线段ADDF的长.

【答案】(1)①BC=BD;②AD+AC= BE;(2)AD=5, DF=

【解析】试题分析:(1)①结论:BC=BD.只要证明△BGD≌△BHC即可.②结论:AD+AC=BE.只要证明AD+AC=2AG=2EG,再证明EB=BE即可解决问题;

(2)如图2中,作BGAMGBHANHAKCFK.由(1)可知,△ABG≌△ABH,△BGD≌△BHC,易知BHAHBCCHAD的长,由sin∠ACH=,推出AK的长,设FG=y,则AF=yBF=,由△AFK∽△BFG,可得,可得关于y的方程,求出y即可解决问题.

试题解析:(1)①结论:BC=BD

理由:如图1中,作BGAMGBHANH

∵∠MAN=60°,PA平分∠MANBGAMGBHANH,∴BG=BH,∠GBH=∠CBD=120°,∴∠CBH=∠GBD,∵∠BGD=∠BHC=90°,∴△BGD≌△BHC,∴BD=BC

②结论:AD+AC=BE

∵∠ABE=120°,∠BAE=30°,∴∠BEA=∠BAE=30°,∴BA=BE,∵BGAE,∴AG=GEEG=BEcos30°=BE,∵△BGD≌△BHC,∴DG=CH,∵AB=ABBG=BH,∴Rt△ABG≌Rt△ABH,∴AG=AH,∴AD+AC=AG+DG+AHCH=2AG=BE,∴AD+AC=BE

(2)如图2中,作BGAMGBHANHAKCFK

由(1)可知,△ABG≌△ABH,△BGD≌△BHC

易知BH=GB=2,AH=AG=EG=BC=BD= =CH=DG=

AD=,∵sin∠ACH=,∴,∴AK=

FG=y,则AF=yBF=

∵∠AFK=∠BFG,∠AKF=∠BGF=90°,

∴△AFK∽△BFG,∴,∴,解得y=(舍弃),

DF=GF+DG=,即DF=

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