题目内容
【题目】如图,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,点B是射线AP上一定点,点C在直线AN上运动,连接BC,将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.
(1)如图1,当点C在射线AN上时,
①请判断线段BC与BD的数量关系,直接写出结论;
②请探究线段AC,AD和BE之间的数量关系,写出结论并证明;
(2)如图2,当点C在射线AN的反向延长线上时,BC交射线AM于点F,若AB=4,AC=,请直接写出线段AD和DF的长.
【答案】(1)①BC=BD;②AD+AC= BE;(2)AD=5, DF=.
【解析】试题分析:(1)①结论:BC=BD.只要证明△BGD≌△BHC即可.②结论:AD+AC=BE.只要证明AD+AC=2AG=2EG,再证明EB=BE即可解决问题;
(2)如图2中,作BG⊥AM于G,BH⊥AN于H,AK⊥CF于K.由(1)可知,△ABG≌△ABH,△BGD≌△BHC,易知BH,AH,BC,CH, AD的长,由sin∠ACH=,推出AK的长,设FG=y,则AF=﹣y,BF=,由△AFK∽△BFG,可得,可得关于y的方程,求出y即可解决问题.
试题解析:(1)①结论:BC=BD,
理由:如图1中,作BG⊥AM于G,BH⊥AN于H,
∵∠MAN=60°,PA平分∠MAN,BG⊥AM于G,BH⊥AN于H,∴BG=BH,∠GBH=∠CBD=120°,∴∠CBH=∠GBD,∵∠BGD=∠BHC=90°,∴△BGD≌△BHC,∴BD=BC;
②结论:AD+AC=BE,
∵∠ABE=120°,∠BAE=30°,∴∠BEA=∠BAE=30°,∴BA=BE,∵BG⊥AE,∴AG=GE,EG=BEcos30°=BE,∵△BGD≌△BHC,∴DG=CH,∵AB=AB,BG=BH,∴Rt△ABG≌Rt△ABH,∴AG=AH,∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE,∴AD+AC=BE;
(2)如图2中,作BG⊥AM于G,BH⊥AN于H,AK⊥CF于K,
由(1)可知,△ABG≌△ABH,△BGD≌△BHC,
易知BH=GB=2,AH=AG=EG=,BC=BD= =,CH=DG=,
∴AD=,∵sin∠ACH=,∴,∴AK=,
设FG=y,则AF=﹣y,BF=,
∵∠AFK=∠BFG,∠AKF=∠BGF=90°,
∴△AFK∽△BFG,∴,∴,解得y=或(舍弃),
∴DF=GF+DG=,即DF=.