题目内容
【题目】(1)计算并观察下列各式:
第1个:(a﹣b)(a+b)=______;
第2个:(a﹣b)(a2+ab+b2)=______;
第3个:(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=_______;
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(2)猜想:若n为大于1的正整数,则(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1)=________;
(3)利用(2)的猜想计算:2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=______.
(4)拓广与应用:3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=_______.
【答案】(1)a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4;(2):an﹣bn;(3)2n﹣1;(4).
【解析】
(1)根据多项式乘多项式的乘法计算可得;
(2)利用(1)中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差;
(3)将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═(2﹣1)(2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1),再利用所得规律计算可得;
(4)将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×(3﹣1)(3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1),再利用所得规律计算可得.
解:(1)第1个:(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;
第2个:(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3;
第3个:(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4;
故答案为:a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4;
(2)若n为大于1的正整数,则(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+……+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1)=an﹣bn,
故答案为:an﹣bn;
(3)2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=(2﹣1)(2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1)
=2n﹣1n=2n﹣1,
故答案为:2n﹣1.
(4)3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1
=×(3﹣1)(3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1)
=×(3n﹣1n)
=,
故答案为: .