题目内容
【题目】如图,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.
(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求DE的长;
(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与△EAD相似时,求出BF的长 .
【答案】
(1)解:由题意可知,抛物线的对称轴为:x=6
∴设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点A(3,0)和C(0,9)
∴
解得: ,k=-3
∴
(2)解:连接AE
∵DE是⊙A的切线,∴∠AED=90°,AE=3
∵直线l是抛物线的对称轴,点A,D是抛物线与x轴的交点
∴AB=BD=3
∴AD=6
在Rt△ADE中,
∴
(3)解:)当BF⊥ED时∵∠AED=∠BFD=90°∠ADE=∠BDF
∴△AED∽△BFD
∴ 即
∴
当FB⊥AD时∵∠AED=∠FBD=90°∠ADE=∠FDB
∴△AED∽△FBD ∴ 即
∴当△BFD与EAD△相似时,BF的长为 或
【解析】(1)根据题意可知此抛物线的对称轴为x=6,设抛物线的解析式为顶点式,再将点A、C两点坐标代入解析式,建立方程求解,即可求出此函数解析式。
(2) 由DE是⊙A的切线,因此添加辅助线连接AE,得出∠AED=90°,AE=3 ,再根据圆的对称性及抛物线的对称性,求出AD的长, 在Rt△ADE中,利用勾股定理求出DE的长。
(3)抓住已知点F是切线DE上的一个动点,要使△BFD与△EAD相似,图形中隐含公共角∠ADE=∠BDF,因此分两种情况:当BF⊥ED时;当FB⊥AD时,根据相似三角形的性质,得出对应边成比例,建立方程,即可求出BF的长。
【考点精析】掌握二次函数的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.