题目内容
【题目】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？
我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
（定理证明）
已知：△ABC（如图①）．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
（定理推论）如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD= ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（初步运用）如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB= ；
（2）若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB= ．
（拓展延伸）如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= ；
（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，则∠A和∠P的数量关系为 ；
（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：BM∥CN．
【答案】[定理证明]证明见解析；[定理推论] ∠A+∠ABC； [初步运用]（1）70°；（2）260°；[拓展延伸]（1）230°；（2）（2）∠P=∠A+100°.（3）证明见解析.
【解析】
[定理证明]
过点A作直线MN∥BC，根据平行线的性质和平角的定义可得结论；
[定理推论]
根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论；
[初步运用]
（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论；
（2）根据三角形的内角和得：∠ABC+∠ACB=100°，由两个平角的和可得结论；
[拓展延伸]
（1）连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论；
（2）如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，综合可得结论；
（3）如图⑥，作辅助线，构建三角形PQC，根据（1）的结论得：∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，和角平分线的定义，证明∠MBP=∠PQC，可得结论．
[定理证明]
证明：过点A作直线MN∥BC，如图所示，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°；
[定理推论]
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
故答案为：∠A+∠ABC；
[初步运用]
（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠DBC-∠A=150°-80°=70°，
故答案为：70°；
（2）∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-100°=260°，
故答案为：260°；
[拓展延伸]
（1）如图④，连接AP，
∵∠DBP=∠BAP+∠APB，∠ECP=∠CAP+∠APC，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC，
∵∠BAC=80°，∠P=150°，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=80°+130°=230°，
故答案为：230°；
（2）∠P=∠A+100°.
理由是：如图⑤，设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠DBO=∠OBP=x，∠PCO=∠OCE=y，
由（1）同理得：x+y=∠A+∠O，2x+2y=∠A+∠P，
2∠A+2∠O=∠A+∠P，
∵∠O=50°，
∴∠P=∠A+100°，
故答案为：∠P=∠A+100°；
（3）证明：延长BP交CN于点Q，
∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，
∴∠DBP=2∠MBP，∠ECP=2∠NCP，
∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC，
∠A=∠BPC，
∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC，
∴∠BPC=∠MBP+∠NCP，
∵∠BPC=∠PQC+∠NCP，
∴∠MBP=∠PQC，
∴BM∥CN.
