题目内容

已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴
100a+10b=5
144a+12b=0
，
解得
a=-
1
4
b=3
，
∴抛物线的函数表达式为y=-
1
4
x2+3x；

（2）根据勾股定理，AC=
OA2+OC2
=
52+122
=13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=
CQ
CP
=
OC
AC
，
即
t
13-2t
=
12
13
，
解得t=
156
37
，
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=
CP
CQ
=
OC
AC
，
即
13-2t
t
=
12
13
，
解得t=
169
38
，
综上所述，t为
156
37
秒或
169
38
秒时，△PQC是直角三角形；

（3）抛物线对称轴为直线x=-
b
2a
=-
3
2×(-
1
4
)
=6，
①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6-12=-6，
代入抛物线解析式得，y=-
1
4
×（-6）2+3×（-6）=-27，
此时点M的坐标为（-6，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
∴点N的坐标为（6，-32）；
（ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6+12=18，
代入抛物线解析式得，y=-
1
4
×182+3×18=-27，
此时点M的坐标为（18，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
∴点N的坐标为（6，-22）；
②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
∴点M也在抛物线对称轴上，
∴点M为抛物线的顶点，
∵y=-
1
4
x2+3x=-
1
4
（x-12x+36）2+9=-
1
4
（x-6）2+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
∴点P的坐标为（6，
5
2
），
∴点N的纵坐标为：2×
5
2
-9=-4，
∴点N（6，-4）；
综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
练习册系列答案
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PM
BE
+
PN
AD
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PA
PB
=
EF
EG
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4
3
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1
2
，
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），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
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2
cm2？
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