Question

在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令二次函数y=ax²+bx+c，
则

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
∴

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-

1

2

x²-

3

2

x+2．

（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（-

3

2

，0），
∴O′C=

5

2

，
OO′=

3

2

；
∵CD为⊙O′切线
∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
∴∠CO'O=∠DCO，
∴△O'CO∽△CDO，
∴

OO′

OC

=

OC

OD

，即

3 2

2

=

2

OD

，
∴OD=

8

3

，
∴D坐标为（

8

3

，0）．

（3）存在，
抛物线对称轴为x=-

3

2

，
设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（-

3

2

+r，|r|）或F（-

3

2

-r，r），
而E点在抛物线y=-

1

2

x²-

3

2

x+2上，
∴r=-

1

2

（-

3

2

+r）²-

3

2

（-

3

2

+r）+2；
∴r₁=-1+

29

2

，r₂=-1-

29

2

（舍去）；
故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为-1+

29

2

．