题目内容
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，-3），与x轴交于A，B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断
+
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断
=
是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断
| PA |
| PB |
| EF |
| EG |
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-3（1分）
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3，
解得a=
（2分）
所以，抛物线的解析式为y=
（x-1）2-3，即y=
x2-
x-
（3分）
（2）是定值，
+
=1（4分）
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以
=
①
同理：
=
②（5分）
①+②：
+
=
+
=1（6分）
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．
∴PH=ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，
∴PH=BH，且△APM∽△PBH，
∴
=
，
∴
=
=
①（8分）
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG=90°，
∵∠MEP+∠SEG=90°，
∴∠FGE=∠MEP，
∵∠PME=∠FEG=90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴
=
②
由①、②知：
=
（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
将A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3，
解得a=
| 3 |
| 4 |
所以，抛物线的解析式为y=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（2）是定值，
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵PM⊥AE，
∴PM∥BE，
∴△APM∽△ABE，
所以
| PM |
| BE |
| AP |
| AB |
同理：
| PN |
| AD |
| PB |
| AB |
①+②：
| PM |
| BE |
| PN |
| AD |
| AP |
| AB |
| PB |
| AB |
（3）∵直线EC为抛物线对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴EA=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．
∴PH=ME且PH∥ME．
在△APM和△PBH中，
∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，
∴PH=BH，且△APM∽△PBH，
∴
| PA |
| PB |
| PM |
| BH |
∴
| PA |
| PB |
| PM |
| PH |
| PM |
| ME |
在△MEP和△EGF中，
∵PE⊥FG，
∴∠FGE+∠SEG=90°，
∵∠MEP+∠SEG=90°，
∴∠FGE=∠MEP，
∵∠PME=∠FEG=90°，
∴△MEP∽△EGF，
∴
| PM |
| ME |
| EF |
| EG |
由①、②知：
| PA |
| PB |
| EF |
| EG |
练习册系列答案
相关题目
与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
