Question

如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5

2

cm²？
（2）经过多少时间后，S_△PCQ的面积为15cm²？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5

2

cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入数据(7-2t)2+(5t)2=(5

2

)2；
解得t=1或t=-

1

29

（不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S_△PCQ的面积为15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2t）×5t=

5

2

×（-2t²+7t）
当t=-

b

2a

时，即t=

7

2×2

=1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S_△PCQ=

1

2

×PC×CQ=

1

2

×（7-2×1.75）×5×1.75²⁼

245

16

当时间为1.75秒时，最大面积为

245

16

．