Question

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

小题1:求证：∠DAC ＝∠DBA；
小题2:求证：是线段AF的中点
小题3:若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

Answer 1

小题1:∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD 
∴∠DAC ＝∠DBA         (2分)
小题2:∵AB为直径，∴∠ADB＝90° 
又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 
∴PD＝PA    
又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD                    
∴PD＝PF  ∴PA＝ PF 即P是线段AF的中点  （3分）
小题3:∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB
∴    
∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝ （3分）

（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；
（2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；
（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．