Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点P的坐标为（1，-

4 3

3

），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-

3

）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知

- b 2a =1 4ac-b2 4a =- 4 3 3 c=- 3

，
解得：a=

3

3

，b=-

2 3

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0），则y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB=

OB

OC

=

3

∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋转性质可知AC=BD，BC=AD，
∴四边形ADBC是平行四边形
又∵∠ACB=90°．
∴四边形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延长BC至N，使CN=CB．
假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即FD+FB+DB最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．
又∵C为BN的中点，
∴FC=

1

2

AC（即F为AC的中点）．
又∵A（-1，0），C（0，-

3

）
∴点F的坐标为F（-

1

2

，-

3

2

）
答：存在这样的点F（-

1

2

，-

3

2

），使得△FBD的周长最小．