题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=
1
2
x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
（1）由
1
2
x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由
1
2
x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
∴
(-2)2•a-2b-3=0
42•a+4b-3=3

∴
a=
1
2
b=-
1
2
，
则抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-
1
2
x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=
OA
AE
=
2
5
=
2
5
5
．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
1
2
x-3．则点P（m，
1
2
m2-
1
2
m-3）．
已知直线AB：y=
1
2
x+1，则点C（m，
1
2
m+1）．
∴PC=
1
2
m+1-（
1
2
m2-
1
2
m-3）=-
1
2
m2+m+4=-
1
2
（m-1）2+
9
2

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-
1
2
（m-1）2+
9
2
]•
2
5
5
=-
5
5
（m-1）2+
9
5
5

∴PD长的最大值为：
9
5
5
．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=
2
5
5
，
∴cos∠ACP=
1
5
，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=
DF
DP
=
1
5
，
在Rt△PDF中，DF=
1
5
PD=-
1
5
（m2-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴
S△PCD
S△PBC
=
DF
BG
=
-
1
5
(m2-2m-8)
4-m
=
1
5
(m-4)(m+2)
m-4
=
m+2
5
．
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
9
10
时，解得m=
5
2
；
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
10
9
时，解得m=
32
9
．
练习册系列答案
相关题目
下表给出了一个二次函数的一些取值情况：
x…0…2…4…
y…3…-1…3…
（1）求这个二次函数的解析式，并求出其图象与x轴的交点坐标；
（2）请在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据其图象写出x取何值时，y＞0．
如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-
4
3
3
），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-
3
）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小？若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．
如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．
在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=x2+8x-
39
4
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______个．
如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x2的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．
（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如图所示，将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
（3）如图所示，将图中的改为“y=ax2+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
[提示：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
），对称轴为x=-
b
2a
]．
已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+3
（1）证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上；
（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上．试问：是否存在点P，使S△PAD=
1
4
S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，英华学校准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为24m的篱笆，一面靠墙（墙长为10m），设花圃宽AB为x（m），面积为S（m2）．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少；
（3）能围出比45m2更大的花圃吗？若能，求出最大的面积；若不能，请说明理由．

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