Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(4,1)，⊙B与x轴相切于点M。
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，若直线绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，见图（2）求B₁的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度？
（3）若直线不动，⊙B沿x轴负方向平移过程中，能否与⊙O与直线同时相切。若相切，说明理由。

Answer 1

解： （1）A（，0）
∵  C（0，）.  ∴  OA=OC  ∵  OA⊥OC，  ∴∠CAO=45°            
（2） 如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，此时，直线l旋转到l¹恰好与⊙B₁ 第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O，B₁N.
则MN=t，O B₁= _， B₁N=1，B₁N⊥AN.
∴ON=1，∴MN=3，即t=3                                                
连接B₁A，B₁P，则B₁P⊥AP，B₁P= B₁N，∴∠PA B₁="∠NA" B₁.
∵OA="O" B₁=，∴∠A B₁O="∠NA" B₁. ∴∠PA B₁＝∠A B₁O. ∴PA∥B₁O.
在Rt△NO B₁中，∠B₁ON＝45° ∴∠PAN＝45° ∴∠1＝90°.
∴直线AC绕点A平均每秒旋转30°
（3） 能，设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B₂，作B₂E⊥AC于E，
作OH⊥AC于H，则四边形B₂EHO为矩形，则B₂E=OH=1，故此时⊙B与直线同时相切。

（1）根据直线的解析式，易得AC的坐标，进而可得OA、OC的关系，由三角函数的定义可得∠CAO的大小；
（2）设相切时，MN=t，易得ON，MN的值，进而可得∠AB1O=∠NAB1，故PA∥B1O；易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；
（3）先假设能，且设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B₂，作B₂E⊥AC于E．易得四边形B₂EHO为平行四边形，此时⊙B与直线l同时相切．