题目内容
【题目】综合与探究：在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点(点在点的右侧)，与
轴交于点
，它的对称轴与轴交于点
，直线
经过，两点，连接
．
（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）探索直线上是否存在点
，使
为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点
是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点
：
①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）点
的坐标为
，点
的坐标为
，
；（2）存在，点
的坐标为
或
；（3）①抛物线上存在点
，使以点
为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为
；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为
【解析】
（1）先由抛物线的解析式以及图像特征求得点
、
的坐标，再利用待定系数法即可求得直线
的函数表达式；
（2）先由点、 、 三点的坐标根据坐标系中距离公式推出
为等边三角形，再分两种情况画图进行分类讨论，利用解直角三角形确定符合要求的点的坐标．
（3）①通过添加辅助线构造出四边形
，然后根据菱形的判定方法进行证明即可；
②通过添加辅助线构造出四边形，然后根据矩形的判定方法进行证明即可．
解：（1）当
时，
解得
，
∵
∴点的坐标为，点的坐标为
∴抛物线的对称轴为直线
∴点的坐标为
当
时，
∴点的坐标为
设直线的表达式为
，则
解得
∴直线的表达式为．
（2）结论：直线上存在点，使为直角三角形．
证明：∵点的坐标为，点的坐标为
∴
又∵点
的坐标为，
∴
∴
∴为等边三角形
∴
分两种情况：
①当
时，
∵
∴
作
轴于点
，如图：
∵在
中，
∴
，
∴点
的坐标为．
②作
轴于点
，如图：
当
时
∵
∴
，
∴
∴
在
中，
∴
，
∵
∴点
的坐标为
∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；
（3）①过点作
轴交抛物线于点，连接
，如图：
∵点的坐标为，
∴当时，
∴
，
（不合题意舍去）
∴点的坐标为
∴
∵点的坐标为
∴
∵由（2）可知
∴
∴四边形
是菱形
∴当点
位于点处时，抛物线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；
②过点作
交直线于点，连接
、
，如图：
∵
∴
∵由（2）可知
∴
∵由（2）可知
∴
∴
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴
，
∴
∴四边形
是矩形
∴抛物线上存在点即点处，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．
