Question

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一点（不与A、C重合）
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是什么特殊的四边形，说明理由．

Answer 1

（1）连接AC，如图所示：
∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；
（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是菱形，
理由如下：
连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
则四边形OBPC为菱形．