题目内容

如图,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a:b=3:4,a+b=c+4.
(1)求a、b长;
(2)若D是AB上的定点,以BD为直径的⊙O恰好切AC于点E,求⊙O的半径r;
(3)若⊙O的圆心O是AB上的动点,求⊙O的半径r在怎样的取值范围内,能使⊙O与AC相切,且与BC所在直线相交?
(1)设a=3k,b=4k.
根据勾股定理,得c=5k.
又a+b=c+4,
3k+4k=5k+4,
k=2.
则a=6,b=8.

(2)连接OE,得到OE⊥AC.
则OEBC.
OE
BC
=
OA
AB
,即
r
6
=
10-r
10
,r=
15
4


(3)设⊙O和AC,BC相切于点M,N.
连接OM,ON.
设此时圆的半径是r,OB=x.
∵OMBC,
OM
BC
=
OA
AB

r
6
=
10-x
10

∵ONAC,
ON
AC
=
OB
AB

r
8
=
x
10

解得r=
24
7

又BC=6,
所以
24
7
<r≤6.
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