题目内容
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a:b=3:4,a+b=c+4.
(1)求a、b长;
(2)若D是AB上的定点,以BD为直径的⊙O恰好切AC于点E,求⊙O的半径r;
(3)若⊙O的圆心O是AB上的动点,求⊙O的半径r在怎样的取值范围内,能使⊙O与AC相切,
且与BC所在直线相交?
(1)求a、b长;
(2)若D是AB上的定点,以BD为直径的⊙O恰好切AC于点E,求⊙O的半径r;
(3)若⊙O的圆心O是AB上的动点,求⊙O的半径r在怎样的取值范围内,能使⊙O与AC相切,

(1)设a=3k,b=4k.
根据勾股定理,得c=5k.
又a+b=c+4,
3k+4k=5k+4,
k=2.
则a=6,b=8.
(2)连接OE,得到OE⊥AC.
则OE∥BC.
∴
=
,即
=
,r=
.
(3)设⊙O和AC,BC相切于点M,N.
连接OM,ON.
设此时圆的半径是r,OB=x.
∵OM∥BC,
∴
=
.
即
=
.
∵ON∥AC,
∴
=
.
即
=
,
解得r=
.
又BC=6,
所以
<r≤6.
根据勾股定理,得c=5k.
又a+b=c+4,
3k+4k=5k+4,
k=2.
则a=6,b=8.
(2)连接OE,得到OE⊥AC.

则OE∥BC.
∴
OE |
BC |
OA |
AB |
r |
6 |
10-r |
10 |
15 |
4 |
(3)设⊙O和AC,BC相切于点M,N.
连接OM,ON.
设此时圆的半径是r,OB=x.
∵OM∥BC,
∴
OM |
BC |
OA |
AB |
即
r |
6 |
10-x |
10 |

∵ON∥AC,
∴
ON |
AC |
OB |
AB |
即
r |
8 |
x |
10 |
解得r=
24 |
7 |
又BC=6,
所以
24 |
7 |

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