Question

【题目】如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．

（1）求证：∠BPD=∠BAC．

（2）连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2时，在点P的整个运动过程中．

①若∠BDE=45°，求PD的长；

②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长；

（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①PD=2；当BD为2，3或时，△BDE为等腰三角形；（3）=

【解析】

分析: （1）根据垂直的定义得出∠ABP=∠ACP=90°，根据四边形的内角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根据平角的定义得出∠BPD+∠BPC=180°，根据同角的余角相等得出∠BPD=∠BAC ；

（2）①如图1，根据等腰直角三角形的性质得出BP=AB=2， 根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出BP=PD，从而得出PD的长；②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠BPE=2，根据正切函数的定义由AB=2,得出BP=， 根据勾股定理即可得出BD=2；Ⅱ如图3，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB；由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC

②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE， 由等角对等边得出AC=AB= 2， 过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，根据正切函数的定义得出AG=2，进而得出BD=CG=2-2,；Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC ，由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC，设PD=x，则BD=2x，根据正切函数的定义列出关于x的方程，求解得出x的值，进而由BD=2x得出答案；

（3）如图5，过点O作OH⊥DC于点H，根据tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP，令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b，由OC∥BE得∠OCH=∠PAC，根据平行线分线段成比例定理得出OH·AC=CH·PC，从而列出方程，求解得出a=b，进而表示出CF,OF，故可得出答案.

详解:

（1）解 ：∵PB⊥AM，PC⊥AN

∴∠ABP=∠ACP=90°，

∴∠BAC+∠BPC=180°

∵∠BPD+∠BPC=180°

∴∠BPD=∠BAC

（2）解 ;①如图1，

∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°，

∴BP=AB=

∵∠BPD=∠BAC

∴tan∠BPD=tan∠BAC

∴ =2

∴BP=PD

∴PD=2

∴∠BPD=∠BPE=∠BAC

∴tan∠BPE=2

∵AB=

∴BP=

∴BD=2

Ⅱ如图2，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB

∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC

∴∠APB=∠APC

∴AC=AB=2

过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形

∵AB= ，tan∠BAC=2

∴AG=2

∴BD=CG=

Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC

∵∠DEB=∠DPB=∠BAC

∴∠APC=∠BAC

设PD=x，则BD=2x

∴ =2

∴ =2

∴x=

∴BD=2x=3

综上所述，当BD为2，3或 时，△BDE为等腰三角形

（3）,

如图5，过点O作OH⊥DC于点H

∵tan∠BPD=tan∠MAN=1

∴BD=DP

令BD=DP=2a，PC=2b得

OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b

由OC∥BE得∠OCH=∠PAC

∴

∴OH·AC=CH·PC

∴a（4a+2b）=2b（a+2b）

∴a=b

∴CF=，OF=

∴.