题目内容
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x
2+bx+c经过点A(
,0)和点B(1,
2),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=
∠MFO时,请直接写出线段BM的长.

(1)将A(
,0)、B(1,
2)代入抛物线解析式y=
x
2+bx+c,得:
,
解得:
.
∴y=
x
2-8x+
.
(2)当∠BDA=∠DAC时,BD
∥x轴.
∵B(1,
2),
当y=
2时,
2=
x
2-8x+
,
解得:x=1或x=4,
∴D(4,
2).
(3)①四边形OAEB是平行四边形.
理由如下:抛物线的对称轴是x=
,
∴BE=
-1=
.
∵A(
,0),
∴OA=BE=
.
又∵BE
∥OA,
∴四边形OAEB是平行四边形.
②∵O(0,0),B(1,
2),F为OB的中点,∴F(
,
).
过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN=
2-
=
,BN=1-
=
.
在Rt△BNF中,由勾股定理得:BF=
=
.
∵∠BMF=
∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF,
∴∠FBM=2∠BMF.
(I)当点M位于点B右侧时.
在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=
,连接FG,则GN=BG-BN=1,
在Rt△FNG中,由勾股定理得:FG=
=
.
∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG.
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF,

∴∠BFG=∠BMF,又∵∠MGF=∠MGF,
∴△GFB
∽△GMF,
∴
=,即
=,
∴BM=
;
(II)当点M位于点B左侧时.
设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线,
∴KF=
OB=FB=
,
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF,
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK,
∴∠BMF=∠MFK,
∴MK=KF=
,
∴BM=MK+BK=
+1=
.
综上所述,线段BM的长为
或
.
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