Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=

8 2

5

x²+bx+c经过点A（

3

2

，0）和点B（1，2

2

），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=

1

3

∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

Answer 1

（1）将A（

3

2

，0）、B（1，2

2

）代入抛物线解析式y=

8 2

5

x²+bx+c，得：

8 2 5 × 9 4 + 3 2 b+c=0 8 2 5 +b+c=2 2

，
解得：

b=-8 2 c= 42 2 5

．
∴y=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

．

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．
∵B（1，2

2

），
当y=2

2

时，2

2

=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

，
解得：x=1或x=4，
∴D（4，2

2

）．

（3）①四边形OAEB是平行四边形．
理由如下：抛物线的对称轴是x=

5

2

，
∴BE=

5

2

-1=

3

2

．
∵A（

3

2

，0），
∴OA=BE=

3

2

．
又∵BE∥OA，
∴四边形OAEB是平行四边形．
②∵O（0，0），B（1，2

2

），F为OB的中点，∴F（

1

2

，

2

）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=2

2

-

2

=

2

，BN=1-

1

2

=

1

2

．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=

BN2+FN2

=

3

2

．
∵∠BMF=

1

3

∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=

3

2

，连接FG，则GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=

GN2+FN2

=

3

．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴

GM

GF

=

GF

GB

，即

3 2 +BM

3

=

3

3 2

，
∴BM=

1

2

；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=

1

2

OB=FB=

3

2

，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=

3

2

，
∴BM=MK+BK=

3

2

+1=

5

2

．
综上所述，线段BM的长为

1

2

或

5

2

．