题目内容

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
8
2
5
x2+bx+c经过点A(
3
2
,0)和点B(1,2
2
),与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=
1
3
∠MFO时,请直接写出线段BM的长.
(1)将A(
3
2
,0)、B(1,2
2
)代入抛物线解析式y=
8
2
5
x2+bx+c,得:
8
2
5
×
9
4
+
3
2
b+c=0
8
2
5
+b+c=2
2

解得:
b=-8
2
c=
42
2
5

∴y=
8
2
5
x2-8
2
x+
42
2
5


(2)当∠BDA=∠DAC时,BDx轴.
∵B(1,2
2
),
当y=2
2
时,2
2
=
8
2
5
x2-8
2
x+
42
2
5

解得:x=1或x=4,
∴D(4,2
2
).

(3)①四边形OAEB是平行四边形.
理由如下:抛物线的对称轴是x=
5
2

∴BE=
5
2
-1=
3
2

∵A(
3
2
,0),
∴OA=BE=
3
2

又∵BEOA,
∴四边形OAEB是平行四边形.
②∵O(0,0),B(1,2
2
),F为OB的中点,∴F(
1
2
2
).
过点F作FN⊥直线BD于点N,则FN=2
2
-
2
=
2
,BN=1-
1
2
=
1
2

在Rt△BNF中,由勾股定理得:BF=
BN2+FN2
=
3
2

∵∠BMF=
1
3
∠MFO,∠MFO=∠FBM+∠BMF,
∴∠FBM=2∠BMF.
(I)当点M位于点B右侧时.
在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=
3
2
,连接FG,则GN=BG-BN=1,
在Rt△FNG中,由勾股定理得:FG=
GN2+FN2
=
3

∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG.
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF,
∴∠BFG=∠BMF,又∵∠MGF=∠MGF,
∴△GFB△GMF,
GM
GF
=
GF
GB
,即
3
2
+BM
3
=
3
3
2

∴BM=
1
2

(II)当点M位于点B左侧时.
设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为Rt△KOB斜边上的中线,
∴KF=
1
2
OB=FB=
3
2

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF,
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK,
∴∠BMF=∠MFK,
∴MK=KF=
3
2

∴BM=MK+BK=
3
2
+1=
5
2

综上所述,线段BM的长为
1
2
5
2
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