Question

已知抛物线y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC；
（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径；
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积比为1：3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：x₁+x₂=

m-5

m

，x₁•x₂=

-5

m

，x₂-x₁=6
则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（

m-5

m

）²+

20

m

=36
解得：m₁=1，m₂=-

5

7

．
经检验m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-

5

m

∵m＞0，
∴1-

-5

m

=6，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=-5 k+b=0

∴

b=-5 k=5

∴直线BC的解析式为y=5x-5；

（2）如图1；

（3）如图2，由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y=x²+4x-5的对称轴直线x=-2上，
设P（-2，-h）（h＞0），（6分）
连接PB、PC，则PB²=（1+2）²+h²，PC²=（5-h）²+2²，
由PB²=PC²，
即（1+2）²+h²=（5-h）²+2²，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半径PB=

(1+2)2+22

=

13

；

（4）如图3，设MN交直线BC于点E，点M的坐标为（t，t²+4t-5），则点E的坐标为（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，则ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=

4

3

（5t-5）．
解得t₁=1（不合题意舍去），t₂=

5

3

，
∴M（

5

3

，

40

9

）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，则ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合题意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在点M，点M的坐标为（

5

3

，

40

9

）或（15，280）．