Question

已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+2x经过点A（4，0），顶点为B．
（1）求顶点B的坐标；
（2）将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后抛物线的表达式．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+2x经过点A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-

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2

，
∴抛物线的表达式为y=-

1

2

x²+2x，
∴y=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x²-4x+2²-4）=-

1

2

（x-2）²+2．
顶点B的坐标为（2，2）；

（2）解法一：设平移后抛物线的表达式为y=-

1

2

x²+bx+c．
∵点B的坐标为（2，2），
∴AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距离为c．
∴点D的坐标为（4-c，0）．
∴0=-

1

2

（4-c）²+b（4-c）+c．
又∵平移后抛物线的对称轴为x=b．
∴b=2-c．
∴0=-

1

2

（4-c）²+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为y=-

1

2

x²+2．
解法二：∵原抛物线表达式为y=-

1

2

x（x-4），
∴设平移后抛物线表达式为y=-

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2

（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距离）．
即y=-

1

2

x²-（m-2）x-

1

2

m²+2m．
∵B的坐标为（2，2），
∵AB=OB=2

2

，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-

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2

m²+2m．解得m=2或m=0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为：y=-

1

2

x²+2．