Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线.
（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当时，求动点M所经过的弧长.

Answer 1

（1）60°; （2）证明见解析; （3）或或或.

试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；
（2）由求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=90⁰，进而证得结论;
（3）如图，当S_△MAO=S_△CAO时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁,②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）.
又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.
（2）如图,作PA边上的高CE,
∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE=.
∵，∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=90⁰.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线.

（3）如图，
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
此时S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°.∴弧AM₁=.
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为.
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，
此时S_△M2AO=S_△CAO．∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°.∴弧AM₂=.
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为．
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，
此时S_△M3AO=S_△CAO, ∴∠BOM₃=60°.∴弧AM₃=.
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为.
点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为.