Question

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

Answer 1

(1)作图见解析；（2）.

试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：

①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁（不为∠ABC的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，当BP₁＞BO时，P₁Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点； 如图2，

∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（-2）²，
∴x=2-4；
②如图3，

同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）²=y²+（-1）²，
∴y=；
③如图4，

同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴，
∴z=．
由①、②、③可知，
＞＞
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的最大值为π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．