Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．

（1）B点坐标是 （用含m的代数式表示），∠ABO= °．

（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），30；（2）m=2或2+．

【解析】

（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；

（2）分两种情况讨论：∠NEB=90°和∠ENB=90°，结合切线的性质得出m的值．

（1）当y=0，则0=﹣x+m，解得：x=m，故B点坐标是（用含m的代数式表示）．

∵一次函数y=﹣x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°．

故答案为：（m，0），30；

（2）如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP．分两种情况讨论：

①若∠NEB=90°．

∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE=90°．

∵∠POE=90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN=2，∠APN=90°．在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，∴PA=，∴m=2+．

②若∠ENB=90°．

∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE=90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m=2．

综上可知：m=2或2+．