题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②S=﹣
m2+
m（0≤m≤3）．
【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣
可得出对称轴的解析式．
（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．
根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
（3）可将三角形BCF分成两部分来求：
一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．
一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．
然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．
解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：
．
所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=﹣m+3，
∴P（m，﹣m+3）．
在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=﹣m2+2m+3，
∴F（m，﹣m2+2m+3）
∴线段DE=4﹣2=2，
线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由﹣m2+3m=2，
解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=
PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB．
∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．
