Question

【题目】（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．求证：AE＝CF；

（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD＝30°，求∠EBO和∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）60°，30°．

【解析】

（1）先证明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得出：AE=CF；
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出∠AOC，从而求出∠C的度数．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

∴∠ADE＝∠FBC．

在△ADE和△CBF中，

∵AD＝BC，∠ADE＝∠FBC，DE＝BF，

∴△ADE≌△CBF．

∴AE＝CF．

（2）解：∵DE是⊙O的直径，

∴∠DBE＝90°．

∵∠ABD＝30°，

∴∠EBO＝∠DBE﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°．

∵AC是⊙O的切线，

∴∠CAO＝90°．

又∠AOC＝2∠ABD＝60°，

∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠CAO＝180°﹣60°﹣90°＝30°．