Question

【题目】CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，

①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BE CF，EF |BE - AF|

（填“＞”，“＜”，“＝”）；

②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF

【解析】

（1）①本题考查全等三角形的判定，可利用AAS定理进行解答；

②本题考查全等三角形判定，可通过三角形内角和定理运用AAS解答．

（2）本题考查全等三角形的判定，运用三角形内角和以及平角定义，通过AAS解答．

（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°

∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°

∴∠BCF=∠CAF

又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

∴

②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°

又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°

∴∠FCA+∠CAF=∠BCA

∵∠BCA=∠BCE+∠FCA

∴∠CAF=∠BCE

∵CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

∴

（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°

又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA

∴∠B=∠ACF

∵CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

EF=EC+CF=AF+BE