Question

已知：直线过抛物线的顶点P，如图所示．

（1）顶点P的坐标是　   　；
（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称，求直线y=mx+n与抛物线的交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x ²+2x）+3=﹣（x+1） ²+4，
∴P点坐标为：（﹣1，4）。
（2）将点P（﹣1，4），A（0，11）代入y=ax+b得：，解得：。
∴该直线的表达式为：y=7x+11。
（3）∵直线y=mx+n与直线y=7x+11关于x轴成轴对称，
∴y=mx+n过点P′（﹣1，﹣4），A′（0，﹣11）。
∴，解得：。
∴y=﹣7x﹣11。∴﹣7x﹣11=﹣x ²﹣2x+3。
解得：x₁=7，x₂=﹣2，此时y₁=﹣60，y₂=3。
∴直线y=mx+n与抛物线y=﹣x²﹣2x+3的交点坐标为：（7，﹣60），（﹣2，3）。

试题分析：（1）利用配方法求出图象的顶点坐标即可：
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可。
（3）根据关于x轴对称点的坐标性质，首先求出直线y=mx+n的解析式，进而得出直线y=mx+n与抛物线y=﹣x²﹣2x+3的交点坐标。