Question

如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是　   　，线段AD的长等于　   　；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x²+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（0，3）；4。
（2）
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形。

试题分析：（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长：
∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1。
∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1）。
∴OC=3，DO=1。
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4。
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式。
∵CM=OM，∴∠OCM=∠COM。
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，∴∠ODM=∠MOD。∴OM=MD=CM。
∴点M是CD的中点，∴点M的坐标为（，）。
∵抛物线y=x²+bx+c经过点C，M，
∴，解得：。
∴抛物线y=x²+bx+c的解析式为：。
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可。
情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，

∴∠FCE=PCE。
由题意可知，OA=OC，∴∠ACO=∠PCE=45°。
∴∠FCP=90°。∴菱形CFEP为正方形。
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形。
∴CP=CH=PH。
设点P为（x，），则OH=，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，∴，解得：x₁=， x₂=0（舍去）。
∴CP=CH=。
∴菱形CFEP的周长l为：。
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，

∴CF=PF，CE∥FP。
∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3。
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM。
延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，
∴PF=FN﹣PN。
设点P为（x，），则点F为（x，x+3），
∴。
∴，解得：，x₂=0（舍去）。
∴。
∴菱形CFEP的周长l为：）。
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为或。