Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x²+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²﹣3x+4。
（2）12
（3）存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）。

试题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO，可以简化计算。
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。
解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4）。
∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x²+bx+c上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²﹣3x+4。
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m。
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为（m，8+m）。
∵点E在抛物线y=﹣x²﹣3x+4上，∴8+m=﹣m²﹣3m+4，解得m=﹣2。
∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6。
∴S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12。
（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），
则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）。
∵△ACD为等腰直角三角形，若△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E（m，4）。
∵点E在抛物线y=﹣x²﹣3x+4上，
∴4=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3。∴D（﹣3，1）。
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E（m，4﹣m）。
∵点E在抛物线y=﹣x²﹣3x+4上，
∴4﹣m=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2。
∴D（﹣2，2）。
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）。