Question

如图，已知点A（0，4），B（2，0）．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）²+n与线段OA交于点C．
①求线段AC的长；（用含m的式子表示）
②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

Answer 1

解：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0），
∴，解得：。
∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4。
（2）①∵以M为顶点的抛物线为y=（x﹣m）²+n，
∴抛物线顶点M的坐标为（m，n）。
∵点M在线段AB上，∴n=﹣2m+4。
∴y=（x﹣m）²﹣2m+4。
把x=0代入y=（x﹣m）²﹣2m+4，得y=m²﹣2m+4，
∴C点坐标为（0，m²﹣2m+4）。
∴AC=OA﹣OC=4﹣（m²﹣2m+4）=﹣m²+2m。
②存在某一时刻，能够使得△ACM与△AMO相似。理由如下：
过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m。
∵M不与点A、B重合，∴0＜m＜2。
又∵MD=m，∴。
∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO。
∴，即。
整理，得 9m²﹣8m=0，解得m=或m=0（舍去），
∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，此时m=

试题分析：（1）设直线AB的函数解析式为：y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式。
（2）①先由抛物线的顶点式为y=（x﹣m）²+n得出顶点M的坐标为（m，n），由点M是线段AB上一动点，得出n=﹣2m+4，则y=（x﹣m）²﹣2m+4，再求出抛物线y=（x﹣m）²+n与y轴交点C的坐标，然后根据AC=OA﹣OC即可求解。
②过点M作MD⊥y轴于点D，则D点坐标为（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM与△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以当△ACM与△AMO相似时，只能是△ACM∽△AMO，根据相似三角形对应边成比例得出，即，解方程求出m的值即可。