Question

问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为       ．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

Answer 1

解：（1）。
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′。

∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称。
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE。
则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) 。
在Rt△AFB^/中，∵∠BAC=45⁰, AB^/="AB=" 10，
∴。
∴BE+EF的最小值为

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：
如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A。作直径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE。

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。
∴∠C′AE=45°。
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°。
∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE=AC′=。
∴AP+BP的最小值是。
（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求。