Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE²=EF•EB．

（1）求证：CB=CF；
（2）若点E到弦AD的距离为1，，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，

∵AE²=EF•EB，∴。
又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB。
∴∠1=∠EAB。
∵BC是⊙O的切线，∴∠3=∠EAB。
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3。∴CB=CF。
（2）如图，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r，
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠EAF=∠EBA，∴。∴OE⊥AD。
∵点E到弦AD的距离为1，∴EG=1。
∵，且∠C+∠GAO=90°，∴。
∴，即。
解得，，即⊙O的半径是。

（1）如图，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论。
（2）如图，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r，由（1）中的相似三角形的性质证得∠EAF=∠EBA，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C
=sin∠GAO=，即可求得r的值。