Question

（8分）将抛物线c₁：y=沿x轴翻折，得到抛物线c₂，如图所示.

（1）请直接写出抛物线c₂的表达式；
（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.
①用含m的代数式表示点A和点E的坐标；
②在平移过程中，是否存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=x2-.(2)①(-1-m,0) ②m=1时，△AME为Rr△.

试题分析：因为二次函数的图像关于x轴对称时，函数中的a,c,互为相反数，b值不变，函数向左平移时，纵坐标不变，横坐标均减少平移个单位，可假定成立，由直角三角形性质得到验证。解：（1）抛物线c₂的表达式是；  2分；

（2）①点A的坐标是（，0），      3分；
点E的坐标是（，0）.        4分；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形.
由题意得只能是.
过点M作MG⊥x轴于点G.
由平移得：
点M的坐标是（，），   5分；
∴点G的坐标是（，0），
∴，，
，
在Rt△AGM中，
∵ tan，
∴，    6分；
∵ ，
∴，
∴tan，
∴，      7分；
∴.       8分.
所以在平移过程中，当时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形.
点评：要熟练掌握以上各种性质，在解题时要掌握正确的方法，本题由一定的难度有三问需认真的思考一一作答，属于中档题。