Question

【题目】(1)如图1，四边形ABCD中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长；

(2)如图2，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长.

Answer 1

【答案】(1);(2) 7-3.

【解析】

（1）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；

（2）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．

（1）如图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．

∵∠ACD=∠ADC=45°，

∴AC=AD，∠CAD=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD=CE．

∵AE=AB=7，

∴BE=，∠ABE=∠AEB=45°，

又∵∠ABC=45°，

∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，

∴EC=，

∴BD=CE=．

（3）如图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

又∵∠ABC=45°，

∴∠E=∠ABC=45°，

∴AE=AB=7，BE=，

又∵∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BAE=∠DAC=90°，

∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD=CE，

∵BC=3，

∴BD=CE=7-3．