Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． （注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
① 在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则A，B两点间的距离为|AB|= ，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|= =5．
② 因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，

将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，

解得：a= ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣1

（2）解：如图，

根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣ x2+1；

当x＜﹣2或x＞2时，y= x2﹣1；

由 可得点M（﹣2 ，1）、点N（2 ，1），

① 当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣ a2+1），

则PO﹣PD= ﹣[1﹣（﹣ a2+1）]

= a2+1﹣ a2

=1；

②当﹣2 ≤x＜﹣2或2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD= ﹣[1﹣（ a2﹣1）]

= a2+1﹣2+ a2

= a2﹣1；

③当x＜﹣2 或x＞2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），

则PO﹣PD= ﹣[（ a2﹣1）﹣1]

= a2+1﹣ a2+2

=3；

综上，当x＜﹣2 、﹣2≤x≤2或x＞2 时，PO与PD的差为定值

【解析】（1）待定系数法求解可得；（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x＜﹣2或2 、x＜﹣2 或x＞2 三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数图象以及系数a、b、c的关系和坐标与图形变化-对称的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）；关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）；关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）．