题目内容
【题目】如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC,点A在x轴的负半轴上,点B是y轴上的一个动点,点C在点B的上方,
(1)如图1当点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,1)时,求点C的坐标;
(2)设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b).过点C作CD⊥y轴于点D,在点B运动过程中(不包含△ABC的一边与坐标轴重合的情况),猜想线段OD的长与a、b的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下如图4,当x轴平分∠BAC时,BC交x轴于点E,过点作CF⊥x轴于点F.说明此时线段CF与AE的数量关系(用含a、b的式子表示).
【答案】(1)C(﹣1,4);(2)OD=a﹣b;(3)aAE+bCF=﹣a(a+b).
【解析】
(1)先确定出OA=3,OB=1,进而判断出△AOB≌△BDC,即可得出BD=3,CD=1,即可得出结论;
(2)分三种情况,同(1)的方法即可得出结论;
(3)先确定出OF=CD=﹣b,CF=OD=b﹣a,进而得出AF=OA+OF=﹣a﹣b,在判断出△AOB∽△CFE,即可得出EF=(b﹣a),进而得出AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣(b﹣a),即可得出结论.
解:(1)如图1,
∵点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,1),
∴OA=3,OB=1,
过点C作CD⊥y轴于D,
∴∠BCD+∠CBD=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BCD,
在△AOB和△BDC中,,
∴△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=3,CD=OB=1,
∴OD=OB+BD=4,
∴C(﹣1,4);
(2)当点B在y轴正半轴上时,
如图1,∵点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=b,
∴OD=OB+BD=b+(﹣a)=b﹣a,
当点B在y轴负半轴上,点C在第一象限时,如图2,
∵点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=BD﹣OB=(﹣a)﹣(﹣b)=b﹣a,
当点B在y轴负半轴,点C在第四象限时,如图3,
∵点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=OB﹣BD=﹣b﹣(﹣a)=a﹣b;
(3)如图4,
∵点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=BD﹣OB=(﹣a)﹣(﹣b)=b﹣a,
∵CF⊥OA于F,
∴四边形ODCF是矩形,
∴OF=CD=﹣b,CF=OD=b﹣a,
∴AF=OA+OF=﹣a﹣b,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠OAC=∠OAB=22.5°,
∴∠ECF=∠ACF﹣∠ACB=90°﹣∠OAC﹣∠ACB=22.5°=∠OAB,
∵∠AOB=∠CFE,
∴△AOB∽△CFE,
∴,
∴,
∴EF=(b﹣a),
∴AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣(b﹣a),
∵CF=b﹣a,
∴AE=﹣a﹣b﹣CF,
∴aAE+bCF=﹣a(a+b).
【题目】今年10月份某商场用19600元同时购进A、B两种新型节能日光灯共440盏,A型日光灯每盏进价为40元,售价为60元,B型日光灯每盏进价为50元,售价为80元.
(1)求10月份两种新型节能日光灯各购进多少盏?
(2)将10月份购买的日光灯从生产基地运往商场的过程中,A型日光灯出现的损坏,B型日光灯完好无损,商场决定对A、B两种日光灯的售价进行调整,使这批日光灯全部售完后,商场可获得10664元的利润型日光灯在原售价基础上提高,问A型日光灯调整后的售价为多少元?
(3)进入11月份,B型日光灯的需求量增大,于是商场在筹备“双十一”促销活动时,决定去甲、乙两个生产基地只购进一批B型日光灯,甲、乙生产基地给出了不同的优惠措施:
甲生产基地:B型日光灯出厂价为每盏50元,折扣如表一所示
乙生产基地:B型日光灯出厂价为每盏47元,同时当出厂总金额达一定数量后还可按表二返现金.
表一
甲生产基地 | |
一次性购买的数量 | 折扣数 |
不超过150盏的部分 | 折 |
超过150盏的部分 | 9折 |
表二
乙生产基地 | |
出厂总金额 | 返现金 |
不超过5640元 | 0元 |
超过5640元,但不超过9353元 | 返现300元 |
超过9353元 | 先返现出厂总金额的后,再返现206元 |
已知该商场在甲生产基地购买B型日光灯共支付7350元,在乙生产基地购买B型日光灯共支付9006元,若将在两个生产基地购买的B型日光灯的总量改由在乙生产基地一次性购买,则支付总金额比在甲、乙两生产基地分别购买的支付金额之和可节约多少元?