Question

【题目】（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1=S2=S3=S4．请你说明理由；

（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，写出S1、S2、S3、S4的关系式；

（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S△PAB=S1，S△PBC=S2，S△PCD=S3，S△PAD=S4，写出S1、S2、S3、S4的关系式．请你说明理由．

Answer 1

【答案】（1）理由见解析；（2）S1+S3=S2+S4；（3）S1S3=S2S4；理由见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的对角相互相平分与如果三角形等底等高面积相同，得解；
（2）可以根据△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同与△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，可得即，即，所以，即．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AP＝CP，

又∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，

∴S△PAB＝S△PBC，

即S1＝S2，

同理可证S2＝S3S3＝S4，

∴S1＝S2＝S3＝S4；

（2）S1＋S3＝S2＋S4；

（3）；

理由：

∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，

∴即，

∵△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，

∴即，

∴，

∴．